\fuxiti
\begin{xiaotis}
\begin{enhancedline}

\xiaoti{半径为 $r$ 的圆的弦长为 $l$， 弦心距为 $d$， 弓形高为 $h$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{用 $r$ 和 $d$ 表示 $l^2$；}

    \xxt{用 $r$ 和 $h$ 表示 $l^2$。}
\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{以等边三角形的一边为直径作圆。求证：这圆平分其他两边，其他两边三等分半圆。}

\xiaoti{如图， $\yuanhu{AC} = \yuanhu{CB}$， $D$、$E$ 分別是 $OA$ 和 $OB$ 的中点。
    求证： $DC = CE$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-03}
    \caption*{（第 3 题）}
\end{figure}

\xiaoti{$\triangle ABC$ 的高 $AD$、$BE$ 相交于点 $H$， $AD$ 的延长线交外接圆于点 $G$。
    求证： $D$ 为 $HG$ 的中点。
}

\xiaoti{$\triangle ABC$ 中， $BC = 2.4$ cm， $\angle A = 31^\circ$，利用三角函数表计算
    $\triangle ABC$ 的外接圆直径（精确到 0.1 cm）。
}

\xiaoti{$\triangle ABC$ 中， $BC = a$、 $CA = b$、 $AB = c$， 外接圆半径为 $R$。
    求证： $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2 R$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-06-1}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-06-2}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-06-3}
    \end{minipage}
    \caption*{（第 6 题）}
\end{figure}

\xiaoti{已知： $a$、$b$、$c$ 为 $\triangle ABC$ 三边的长， $R$ 为其外接圆的半径。
    利用 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2 R$ 证明：
    $$ S_{\triangle ABC} = 2 R^2 \sin A  \sin B \sin C = \dfrac{abc}{4R} \juhao $$
}

\xiaoti{内接于圆的四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 垂直相交于点 $K$，
    过点 $K$ 的直线与边 $AD$、$BC$ 分别相交于点 $H$ 和 $M$。求证：
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{如果 $KH \perp AD$， 那么 $CM = MB$；}

    \xxt{如果 $CM = MB$， 那么 $KH \perp AD$。}
\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求证：四边形各内角的平分线所成的四边形内接于圆。}

\xiaoti{如图，延长圆的内接四边形 $ABCD$ 的两组对边，分别相交于点 $M$、$N$。
    求证：所成的 $\angle AMD$ 和 $\angle ANB$ 的平分线互相垂直。
    （提示：证明图中 $\angle 1 = \angle 2$。）
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-10}
        \caption*{（第 10 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-14}
        \caption*{（第 14 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{过正方形对角线上任意一点，引两直线平行于边，那么这两直线与边的四个交点同在一个圆上。}

\xiaoti{从 $\yuan\,O$ 外的定点 $P$ 作 $\yuan\,O$ 的两条切线，分别切 $\yuan\,O$ 于点 $A$ 和 $B$。
    在 $\yuanhu{AB}$ 上任取一点 $C$， 经过点 $C$ 作 $\yuan\,O$ 的切线，分别交 $PA$、$PB$ 于点 $D$ 和 $E$。求证：
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\triangle PDE$ 的周长是定值 $(PA + PB)$；}

    \xxt{$\angle DOE$ 的大小是定值 $\left( \exdfrac{1}{2} \angle AOB \right)$。}
\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{以直角三角形 $ABC$ 的直角边 $AC$ 为直径作圆，交斜边 $AB$ 于点 $D$，过点 $D$ 作圆的切线。
    求证：这条切线平分另一条直角边 $BC$。
}

\xiaoti{如图， $\triangle ABC$ 的三条边所在的直线分全平面成七个区域，
    在其中的四个里各有一个和三边所在的直线都相切的圆
    （$\yuan\,I$、$\yuan\,I_a$、$\yuan\,I_b$、$\yuan\,I_c$）。
    这四个圆的圆心各在哪些角平分线上？
}

\xiaoti{$A$ 是 $\yuan\,O$  的直径上的一点， $OB$ 是和这条直径垂直的半径，
    $BA$ 和 $\yuan\,O$ 相交于另一点 $C$， 过点 $C$ 的切线和 $OA$ 的延长线相交于点 $D$。
    求证： $DA = DC$。
}

\xiaoti{作等边三角形的外接圆和内切圆。如果外接圆的半径为 $R$， 求内切圆的半径。}

\xiaoti{$Rt \triangle ABC$ 中， $CD$ 为斜边 $AB$ 上的高， $G$ 为 $CD$ 上的一点，
    $AG$ 的延长线和 $\triangle ABC$ 的外接圆相交于点 $H$。 求证：
    $$ AG \cdot AH = AD \cdot AB \juhao $$
}

\xiaoti{求证：经过相交两圆的一个交点的那些直线，被两圆所截得的线段中，平行于连心线的那一条线段最长。}

\xiaoti{两圆相交于点 $A$ 和 $B$， 经过交点 $B$ 的任意一直线和两圆分别相交于点 $C$ 和 $D$。
    求证： $AC$ 与 $AD$ 的比等于两圆直径的比。
}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{两圆内切于点 $P$，大圆的弦 $AD$ 交小圆于点 $B$ 及 $C$。
        求证： $\angle APB = \angle CPD$；
    }

    \xxt{两圆内切于点 $P$， 大圆的弦 $AB$ 切小圆于点 $C$。
        求证： $\angle APC = \angle CPB$。
    }

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{如图，用直径为 120 mm 的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径。
    已量得两圆钢棒外侧距离为 1574 mm，求工件的直径 $D$（精确到 1 mm）。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=7cm]{../pic/czjh2-ch7-fuxi-21.png}
    \caption*{（第 21 题）}
\end{figure}

\xiaoti{半径为 $R$ 和 $r$ （$R > r$） 的两圆相外切。求一条外公切线的长。}

\xiaoti{画出图中由圆和弧所组成的图案。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-23-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-23-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-23-c}
        \caption*{丙}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-23-d}
        \caption*{丁}
    \end{minipage}
    \caption*{（第 23 题）}
\end{figure}


\xiaoti{正十边形的边长为 $2a$， 求它的面积（用代数式表示）。}

\xiaoti{我国民间相传有正五边形的近似作法。“九五顶五九，八五分两边”，它的意义如图所示。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{用这个方法作边长为 50 毫米的近似正五边形；}

    \xxt{用三角函数计算边长为 10 寸的正五边形中，相当于图中 5.9 寸、9.5 寸、8 寸的线段的长，加以比较。}

\end{xiaoxiaotis}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-25}
        \caption*{（第 25 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-29}
        \caption*{（第 29 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{求证：两个同心圆所成环形的面积等于以切于小圆的大圆的弦为直径的圆的面积。}

\xiaoti{半径为 $R$ 的两个等圆互相经过圆心，求两圆所围的公共部分的面积。}

\xiaoti{已知：直角三角形 $ABC$ 及斜边 $BC$ 上的高 $AD$。
    求证： $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 的内切圆的面积的比等于 $BD:DC$。
}

\xiaoti{如图， $\yuanhu{AB}$ 与 $\yuanhu{A'B'}$ 的圆心都是 $O$，
    $AA' = d$， $\yuanhu{AB}$ 的长是 $l$， $\yuanhu{A'B'}$ 的长是 $l'$。求证：
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\angle O = \dfrac{l - l'}{d} \times \dfrac{180}{\pi}$ 度；}

    \xxt{$S_{AA'B'B} = \exdfrac{1}{2} (l + l') \, d$。}
\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{如图， $B$ 是 $AC$ 上的一点， 分别以 $AB$、$BC$、$AC$ 为直径作半圆。
    从 $B$ 作 $BD \perp AC$， 与半圆相交于 $D$。
    求证：图中阴影部分的面积等于以BD为直径的圆的面积。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-30}
        \caption*{（第 30 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-fuxi-35}
        \caption*{（第 35 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{举出原命题和逆命题都正确以及原命题正确而逆命题不正确的例子；}

    \xxt{举出原命题和否命题都正确以及原命题正确而否命题不正确的例子；}

    \xxt{能不能举出原命题正确而逆否命题不正确的例子？为什么？}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{图形 $F$ 是符合条件 $C$ 的点的轨迹，需要下列两个命题都正确：
    1. 图形 $F$ 上的每一个点都符合条件 $C$；
    2. 符合条件 $C$ 的每一个点都在图形 $F$ 上。
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{如果命题 1 正确，命题 2 不正确，会发生什么情况？举例说明；}

    \xxt{如果命题 1 不正确，命题 2 正确，会发生什么情况？举例说明。}
\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{已知 $\yuan\,O$ 上一点 $A$，说明并作出以点 $A$ 为端点的弦的中点的轨迹（不要求证明）。}

\xiaoti{求作一个圆，使它的半径等于 3 cm， 经过已知点 $A$，并且和半径为 2 cm 的已知圆 $O$ 相切（已知 $OA = 6$ cm）。}

\xiaoti{在如图所示的坐标系中， $\yuan\,O$ 的半径为 10， $O_1 $的坐标为 $(35, 0)$，
    $\yuan\,O_1$ 的半径为 8。 $\yuanhu{AB}$ 与 $\yuan\,O$ 上的弧外连接，
    与 $\yuan\,O_1$ 上的弧内连接。计算 $\yuanhu{AB}$ 所在圆的圆心 $P$ 的坐标（保留4个有效数字）。
}


\end{enhancedline}
\end{xiaotis}

